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OPTIMIZACION CON DERIVADAS
ENCONTRAR EL MAXIMO
Cómo encontrar el máximo de una función usando derivadas
1. Idea principal
Un máximo ocurre cuando una función alcanza su valor más alto en un punto.
En cálculo, esto sucede cuando la pendiente de la tangente es cero:
\( f'(x) = 0 \)
2. Pasos para encontrar un máximo
- Derivar la función: Calcula \( f'(x) \)
- Encontrar puntos críticos: Resuelve
\( f'(x) = 0 \)
- Aplicar la segunda derivada: Calcula \( f''(x) \)
- Clasificar el punto:
- Si \( f''(x) < 0 \) → máximo
- Si \( f''(x) > 0 \) → mínimo
3. Ejemplo paso a paso
Encuentra el máximo de:
\( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \)
Paso 1: Derivar
\( f'(x) = -2x + 4 \)
Paso 2: Igualar a cero
\( -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Paso 3: Segunda derivada
\( f''(x) = -2 \)
Paso 4: Clasificación
Como \( f''(x) = -2 < 0 \), el punto es un máximo.
Paso 5: Valor máximo
\( f(2) = -2^2 + 4(2) + 1 = 5 \)
El máximo ocurre en \( x = 2 \) y el valor máximo es \( 5 \).
4. Interpretación gráfica
En un máximo, la gráfica tiene forma de "∩" (como una montaña) y el punto es el más alto.
5. Resumen rápido
1. Derivar → \( f'(x) \)
2. Igualar a cero → puntos críticos
3. Segunda derivada → confirmar máximo
ENCONTRAR EL MINIMO
1. Idea principal
Un mínimo ocurre cuando una función alcanza su valor más pequeño en un punto.
En cálculo, esto sucede cuando la pendiente de la tangente es cero:
\( f'(x) = 0 \)
2. Pasos para encontrar un mínimo
- Derivar la función: Calcula \( f'(x) \)
- Encontrar puntos críticos: Resuelve
\( f'(x) = 0 \)
- Aplicar la segunda derivada: Calcula \( f''(x) \)
- Clasificar el punto:
- Si \( f''(x) > 0 \) → mínimo
- Si \( f''(x) < 0 \) → máximo
3. Ejemplo paso a paso
Encuentra el mínimo de:
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)
Paso 1: Derivar
\( f'(x) = 2x - 4 \)
Paso 2: Igualar a cero
\( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Paso 3: Segunda derivada
\( f''(x) = 2 \)
Paso 4: Clasificación
Como \( f''(x) = 2 > 0 \), el punto es un mínimo.
Paso 5: Valor mínimo
\( f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1 \)
El mínimo ocurre en \( x = 2 \) y el valor mínimo es \( 1 \).
4. Interpretación gráfica
En un mínimo, la gráfica tiene forma de "U" y el punto es el más bajo.
5. Resumen rápido
1. Derivar → \( f'(x) \)
2. Igualar a cero → puntos críticos
3. Segunda derivada → confirmar mínimo
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